[目錄]
A 部分 常微分方程式

第 1 章 一階常微分方程式

1.1 基本觀念、建模

1.2 y' = f (x, y) 的幾何意義、方向場、Euler法

1.3 可分離ODE、建模

1.4 正合常微分方程式、積分因子

1.5 線性常微分方程式、Bernoulli方程式、族群動態學

1.6 正交軌跡 (選讀)

1.7 初值問題解的存在性與唯一性

第 2 章 二階線性常微分方程式

2.1 二階齊次線性ODE

2.2 常係數齊次線性ODE

2.3 微分運算子 (選讀)

2.4 質點－彈簧系統自由振盪模型

2.5 Euler-Cauchy方程式

2.6 解的存在性與唯一性、Wronskian

2.7 非齊次常微分方程式

2.8 建模：受力振盪、共振

2.9 建模：電路

2.10 參數變異法求解

第 3 章 高階線性常微分方程式

3.1 齊次線性ODE

3.2 常係數齊次線性ODE

3.3 非齊次線性ODE

第 4 章 ODE方程組、相位平面、定性方法

4.0 參考：矩陣與向量的基礎

4.1 作為工程應用模型的ODE方程組

4.2 ODE方程組的基本理論、Wronskian

4.3 常係數方程組、相位平面法

4.4 臨界點判別準則、穩定性

4.5 用於非線性方程組的定性方法

4.6 非齊次線性ODE方程組

第 5 章 ODE之級數解、特殊函數

5.1 冪級數法

5.2 Legendre方程式、Legendre多項式 Pn(x)

5.3 延伸冪級數法：Frobenius法

5.4 Bessel方程式、Bessel函數 Jv(x)

5.5 Bessel函數Yv(x) 、通解

第 6 章 Laplace 轉換

6.1 Laplace轉換、線性性質、第一平移定理 (s 平移)

6.2 導數及積分之轉換、常微分方程式

6.3 單位步階函數 (Heaviside函數)、第二平移定理 (t 平移)

6.4 短脈衝、Dirac's Delta函數、部分分式

6.5 摺積、積分方程式

6.6 轉換式的微分與積分、變係數ODE

6.7 ODE方程組

6.8 Laplace轉換：一般公式

6.9 Laplace轉換表

B 部分 線性代數、向量微積分

第 7 章 線性代數：矩陣、向量、行列式、線性方程組

7.1 矩陣、向量：加法與純量乘法

7.2 矩陣乘法

7.3 線性方程組、高斯消去法

7.4 線性獨立、矩陣的秩、向量空間

7.5 線性方程組的解：存在性、唯一性

7.6 參考用：二階以及三階行列式

7.7 行列式、克拉瑪法則

7.8 逆矩陣、Gauss – Jordan 消去法

7.9 向量空間、內積空間、線性轉換 (選讀)

第 8 章 線性代數：矩陣特徵值問題

8.1 矩陣特徵值問題、求特徵值及特徵向量

8.2 特徵值問題的應用

8.3 對稱、斜對稱矩陣與正交矩陣

8.4 特徵基底、對角線化、二次形式

8.5 複數矩陣與形式 (選讀)

第 9 章 向量微分、梯度(Grad)、散度(Div)、旋度(Curl)

9.1 二維空間與三維空間的向量

9.2 向量內積 (點積)

9.3 向量積 (叉積)

9.4 向量與純量函數與場、向量微積分：導數

9.5 曲線、弧長、曲率、撓率

9.6 微積分複習：多變數函數 (選讀)

9.7 純量場的梯度、方向導數

9.8 向量場的散度

9.9 向量場的旋度

第 10 章 向量積分、積分定理

10.1 線積分

10.2 線積分之路徑無關性

10.3 微積分回顧：雙重積分 (選讀)

10.4 平面之Green定理

10.5 面積分的曲面

10.6 面積分

10.7 三重積分、高斯散度定理

10.8 散度定理之進一步應用

10.9 Stokes定理

C 部分 傅立葉分析、偏微分方程式 (PDE)

第 11 章 傅立葉分析

11.1 傅立葉級數

11.2 任意週期、偶函數與奇函數、半幅展開式

11.3 受力振盪

11.4 三角多項式的近似法

11.5 Sturm-Liouville問題、正交函數

11.6 正交級數、一般化傅立葉級數

11.7 傅立葉積分

11.8 傅立葉餘弦及正弦轉換

11.9 傅立葉轉換、離散及快速傅立葉轉換

11.10 轉換表

第 12 章 偏微分方程式 (PDE)


專題研究

附錄 1 參考文獻

附錄 2 部分習題解答

附錄 3 輔助教材

A3.1 特殊函數之公式

A3.2 偏導數

A3.3 數列與級數

A3.4 在曲線座標中的梯度、散度、旋度及 ▽2

附錄 4 補充證明

附錄 5 函數表

附錄 6 應用數學的新興主題

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